若x,y为正整数,使得x^2+y^2-x能被2xy整除,求证:x是完全平方数

设X^2+Y^2=2XY*K(K属于整数) Y^2+(2KX)Y+(X^2-X)=0 设Y1为上述方程的一个整数根，并设另一个根为Y2,所以Y1+Y2=2KX,所以Y2也为整数，这个方程的判别式=（2KX）^2-4(X^2-X)=4X[(K^2-1)X+1]是个完全平方数，（X,(K^2-1)X+1）=(X,1)=1,所以X为完全平方数。